Optimalisasi Produksi (Contoh Kasus)



Pemrograman Linier
            Pemrograman linier merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik dan mungkin dilakukan agar mendapatkan suatu keuntungan yang maksimum dengan menggunakan bahan yang terbatas. Pembahasan dan analisis pemrograman linier ini terdiri dari studi kasus, perhitungan manual, pengolahan perangkat lunak, analisis perhitungan manual, analisis pengolahan perangkat lunak dan analisis perbandingan.

Contoh Studi Kasus Pemrograman Linier
            PT. X merupakan sebuah perusahaan yang bergerak dalam bidang industri elektronik. Perusahaan ini memproduksi dua tipe AC yang berbeda. Generasi pertama bertipe AC-01 yang diproduksi hingga sekarang. PT.X terus melakukan pengembangan-pengembangan pada produknya tersebut, dan untuk memenuhi  permintaan konsumen akan AC yang berdaya rendah, PT. X melihatnya sebagai peluang besar untuk mendapatkan keuntungan, maka PT. X baru-baru ini meluncurkan AC generasi kedua tipe AC-02 kepasaran. Kedua jenis AC tersebut menggunakan tiga jenis bahan baku yang sama. Bijih plastik yang digunakan untuk casing AC, Refrigerant dan dan sekrup. Perusahaan ingin mendapatkan suatu keuntungan yang maksimum, dimana keuntungan dari tipe AC-01 adalah Rp 160.000,- per unit dan keuntungan tipe AC-02 adalah Rp 280.000, per unit. Kapasitas yang tersedia pada perusahaan membatasi output diringkas pada tabel
Tabel 1 Spesifikasi Produk
Bahan Baku
Tipe Ac
Kapasitas
AC-01
AC-02
Bijih Plastik  (kg)
6
3
4800
Refrigerant(ltr)
13
11
12000
Sekrup (Box)
10
18
15000
Keuntungan (Rp)
160.000
280.000


Berdasarkan data spesifikasi produk di atas, perusahaan ingin menentukan jumlah AC tipe AC-01 dan AC tipe AC-02 yang harus diproduksi oleh PT. X agar mendapatkan keuntungan maksimum.

Perhitungan Manual Pemrograman Linier
Penyelesaian studi kasus pada pemrograman linier dapat diselesaikan dengan dua metode perhitungan manual yang berbeda. Perhitungan tersebut adalah dengan metode grafik dan metode simpleks. Berikut ini adalah perhitunganmenggunakan kedua metode tersebut.
1.        Perhitungan metode grafik
       Metode grafik dapat diterapkan untuk memecahkan masalah-masalah pemrograman linier yang menyangkut dua variabel keputusan. Langkah-langkah dalam metode grafik adalah sebagai berikut
a.        Menentukan variabel keputusan
Variabel keputusan biasanya disimbolkan dengan huruf X, yaitu variabel yang merupakan petunjuk tentang keputusan-keputusan yang akan dibuat. Adapun variabel keputusan yang ada pada studi kasus adalah sebagai berikut.
X1 = Tipe AC-01
X2 = Tipe AC-02
b.        Menentukan fungsi tujuan
Fungsi tujuan biasanya disimbolkan dengan huruf Z, yaitu fungsi dan variabel keputusan yang akan dioptimalkan. Optimalisasi ini dapat bersifat maksimasi dan minimasi. Adapun fungsi tujuan yang ada pada studi kasus adalah sebagai berikut.
Max Z = 160.000 X1 + 280.000 X2
c.         Menentukan sistem kendala
Sistem kendala merupakan kendala-kendala yang dihadapi karena keterbatasan sumber daya sehingga tidak dapat menentukan nilai variabel-variabel keputusan secara sembarang. Adapun dari sistem kendala yang diperoleh studi kasus adalah sebagai berikut.
6 X1 + 3 X2 ≤ 4800………………………..(1)
13 X1 + 11 X2 ≤ 12000………………….(2)
10 X1 + 18 X2 ≤ 15000………………….(3)
Non-negativeconstraint:
X1,X2> 0
d.        Menentukan grafik dari semua kendala
Setelah sistem kendala yang sudah ditentukan dapat memperoleh suatu grafik yang dapat menjelaskan titik potong yang ada. Grafik yang ada pada studi kasus adalah sebagai berikut.
Persamaan garis : 6 X1 + 3 X2 ≤ 4800
Untuk X1 = 0                  6 (0) + 3 X2 ≤ 4800
                                        X2 ≤  1600
                                        (0, 1600)
Untuk X2 = 0                  6 X1 + 3 (0) ≤ 4800
                                        X1 ≤  800
                                        (800, 0)
Persamaan garis : 13 X1 + 11 X2 ≤ 12000
Untuk X1 = 0                  13 (0) + 11 X2 ≤ 12000
                                     X2 ≤  1090,9
                                     (0, 1090,9)
Untuk X2 = 0                  13 X1 + 11 (0) ≤ 12000
                                        X1 ≤  923,07
                                        (923,07, 0)
Persamaan garis : 10 X1 + 18 X2 ≤ 15000
Untuk X1 = 0                  10 (0) + 18 X2 ≤ 15000
                                     X2 ≤  833,3
                                     (0, 833,3)
Untuk X2 = 0                  10 X1 + 18 (0) ≤ 15000
                                        X1 ≤ 1500
                                        (1500, 0)
Gambar 1 Grafik Pemrograman Linier
e.        Menentukan daerah solusi yang layak
Berdasarkan gambar 4.25, dapat dilihat bahwa titik potong B yang didapat pada daerah arsiran yang sama adalah pada persamaan garis (2) dan persamaan garis (3). Berikut ini perhitungan titik potong tersebut:
(2)   13 X1 + 11 X2 = 12000 x 10 130 X1 + 110 X2     = 120000
(3)   10 X1 + 18 X2 = 15000 x 13 130 X1 + 234 X2     = 195000
                                                                          -124 X2           = - 7500
                                                                                   X2           = 604,83
Nilai X2 = 604,83 dimasukkan ke persamaan (2):
13 X1 + 11 (604,83)= 12000
                     13 X1            = 12000 – 6653,13
                     13 X1            = 5346,87
                          X1             = 411,29
Jadi, titik potong B tersebut adalah (411,29 , 604,83)
Berdasarkan gambar 3.3, dapat dilihat bahwa titik potong C yang didapat pada daerah arsiran yang sama adalah pada persamaan garis (1) dan persamaan garis (2). Berikut ini perhitungan titik potong tersebut:
(1)    6  X1 +  3  X2 = 4800    x 11 66 X1 + 33 X2       = 52800
(2)   13 X1 + 11 X2 = 12000 x 3   39 X1 + 33 X2    = 36000
                                                                 27 X1     = 16800
                                                                      X1      = 622,22
Nilai X1 = 622,22 dimasukkan ke persamaan (1):
6  (622,220) +  3  X2= 4800                          
3  X2= 4800 – 3733,32
3  X2 = 1066,68
     X2= 355,56
Jadi, titik potong C tersebut adalah (622,22 , 355,56).
f.         Menentukan nilai obyektif optimal pada daerah solusi yang layak dan menggambarkan bentuk grafik dari fungsi obyektif. Perhitungan nilai Z:
Gambar 2 Grafik Solusi Pemrograman Linier

Tabel 2 Titik Kordinat
Titik Maksimal
Z = 160000 X1 + 280000 X2
A(0,833,3)
160000(0) + 280000 (833,3)= 233.324.000
B(411,29, 604,83)
160000(411,29) + 280000 (604,83)= 235.158.800
C (622,22, 355,56)
160000(622,22) + 280000 (355,56)= 199.112.000
D (800,0)
160000(800) + 280000 (0)= 128.000.000

g.         Kesimpulan
Jadi, jumlah AC tipe AC-01 yang harus diproduksi untuk mendapatkan keuntungan maksimum adalah sebanyak 411,29 unit dibulatkan menjadi 411 unit dan untuk AC tipe AC-02 adalah  604,83 unit dibulatkan menjadi 604 unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh PT X sebesar  Rp.235.158.800,-
2.        Metode Simpleks
Suatu prosedur matematis untuk mencari solusi optimal dari suatu masalah pemrograman linier yang di dasarkan pada proses iterasi. Jadi pada prinsipnya prosedur ini diawali dengan penentuan suatu solusi awal yang secara terus menerus diperbaiki hingga diperoleh solusi yang optimal. Berikut adalah langkah-langkah perhitungan dengan metode simpleks.
a.        Model matematika fungsi tujuan dan varibel kendalanya
Model matematika fungsi tujuan di sini merupakan tujuan perusahaan pada PT. X, tujuannya adalah mengetahui jumlah produk yang diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan dan variabel keputusan merupakan kendala atau keterbatasan pada perusahaan. Berikut ini merupakan fungsi tujuan dan variabel keputusan dari kasus PT. X.
X1 = Tipe AC-01
X2 = Tipe AC-02
Max Z =  160000X1 + 280000 X2
Kendalanya:
6 X1 + 3 X2 ≤ 4800
13 X1 + 11 X2 ≤ 12000
10 X1 + 18 X2 ≤ 15000
Non-negativeconstraint:
X1  ,  X2 >  0
b.        Mengubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks
Berdasarkan model matematika diatas untuk menghitung dengan metode simpleks harus mengubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku. Berikut ini adalah merupakan bentuk baku dari model matematikanya.
Z – 160000X1 – 280000X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0
Variabel Kendalanya:
6X1 + 3X2 + S1                          = 4800
13X1 + 11X2 + S2   = 12000
10X1 + 18X2 + S3   = 15000
c.         Menyusun persamaan di dalam tabel simpleks awal
Berdasarkan persamaan diatas yang sudah berbentuk baku maka setelah itu menyusun persamaan tersebut di dalam tabel simpleks awal. Berikut ini adalah tabel simpleks awal.
Tabel 3 Simpleks Awal
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Rasio
Z
1
-160000
-280000
0
0
0
-
-
S1
0
6
3
1
0
0
4800
-
S2
0
13
11
0
1
0
12000
-
S3
0
10
18
0
0
1
15000
-

d.        Memilih kolom kunci pertama
Berdasarkan tabel nilai bentuk standar baku di atas, untuk menentukan entering variable maka dipilih koefisien negatif terbesar pada baris fungsi tujuan (Z). Berdasarkan tabel, entering variable terdapat pada kolom X2, kolom ini disebut kolom pivot. 
Tabel 3 Entering Variable
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Rasio
Z
1
-160000
-280000
0
0
0
-
-
S1
0
6
3
1
0
0
4800
-
S2
0
13
11
0
1
0
12000
-
S3
0
10
18
0
0
1
15000
-
e.        Memilih baris kunci pertama
Langkah selanjutnya, menentukan leaving variable dengan cara memilih nilai terkecil dari hasil bagi solusi dengan nilai pada kolom pivot, kemudian didapat leaving variabel pada baris S3. Baris tersebut dinamakan baris pivot. Dari perpotongan kolom pivot dan baris pivot didapat nilai pivot senilai 18.
Tabel 4 Leaving Variable
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Rasio
Z
1
-160000
-280000
0
0
0
-
-
S1
0
6
3
1
0
0
4800
1600
S2
0
13
11
0
1
0
12000
1090,91
S3
0
10
18
0
0
1
15000
833,33

f.          Mengubah nilai-nilai baris kunci pertama
Mengubah semua nilai pada baris pivot dengan membagi terhadap nilai pivot. Berikut ini adalah perhitungannya.
Tabel 5 Perhitungan X2 Baru untuk Iterasi 1
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
S3
0/18
10/18
18/18
0/18
0/18
1/18
15000/18
Baris X2 Baru
0
0,5555
1
0
0
0,0555
833,33
g.        Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci
Langkah selanjutnya adalah membuat nilai baru untuk semua baris kecuali baris pivot dengan rumus: Nilai baru = Nilai lama – (nilai pada kolom pivot x nilai baru baris pivot), serta menggantikan leaving variabel dengan entering variabel. Berikut ini adalah perhitungan untuk nilai Z baru:
Tabel 6 Perhitungan Z Baru untuk Iterasi 1
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Z
1
-160000
-280000
0
0
0

X2(-280000)
0
-1400000/9
-280000
0
0
-280000/18
-233.332.400
Baris Baru
1
-4444,4444
0
0
0
15555,5555
233.332.400

Perhitungan selanjutnya untuk mencari nilai S1 baru. Berikut ini adalah perhitungan untuk nilai S1 baru:
Tabel 7 Perhitungan S1 Baru untuk Iterasi 1
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
S1
0
6
3
1
0
0
4800
X2(3)
0
5/3
3
0
0
3/18
2499,99
Baris Baru
0
4,3333
0
1
0
-0,1666
2300,01
Perhitungan selanjutnya untuk mencari nilai S3 baru. Berikut ini adalah perhitungan untuk nilai S2 baru:
Tabel 8 Perhitungan S2 Baru untuk Iterasi 1
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
S2
0
13
11
0
1
0
12000
X2(11)
0
55/9
11
0
0
11/18
9166,63
Baris Baru
0
6,8888
0
0
1
-0,6111
2833,37
Perhitungan untuk iterasi pertama telah selesai. Berikut ini adalah tabel perhitungan iterasi pertama:
Tabel 9 Iterasi 1
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Rasio
Z
1
-4444,4444
0
0
0
15555,5555
233.332.400

S1
0
4,3333
0
1
0
-0,1666
2300,01
530,77
S2
0
6,8888
0
0
1
-0,6111
2833,37
411,3
X2
0
0,5555
1
0
0
0,0555
833,33
1500,14
h.        Melanjutkan perbaikan-perbaikan atau perubahan-perubahan
Berdasarkan tabel 9 iterasi 1 masih terdapat nilai negatif pada baris fungsi tujuan (Z), maka bisa dikatakan solusi belum optimal. Untuk itu perlu dilakukan perbaikan solusi dengan langkah-langkah yang sama. Berdasarkan tabel, entering variable terdapat pada kolom X1, kolom ini disebut kolom pivot. Didapat leaving variabel pada baris S2, baris tersebut dinamakan baris pivot. Dari perpotongan kolom pivot dan baris pivot  didapat nilai pivot  senilai 6,8888. Mengubah semua nilai pada baris pivot dengan membaginya terhadap nilai pivot. Berikut ini adalah perhitungannya:
Tabel 10 Perhitungan S2 Baru untuk Iterasi 2
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
S2
0/6,8888
6,8888/6,8888
0/6,8888
0/6,8888
1/6,8888
-0,6111/6,8888
2833,37/6,8888
Baris X1 Baru
0
1
0
0
0,1451
-0,0887
411,3
Langkah selanjutnya adalah membuat nilai baru untuk semua baris kecuali baris pivot dengan rumus: Nilai baru = Nilai lama – (nilai pada kolom pivot x nilai baru baris pivot) serta menggantikan leaving variabel dengan entering variabel. Berikut ini adalah perhitungan untuk nilai Z baru.
Tabel 11 Perhitungan Z Baru untuk Iterasi 2
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Z
1
-4444,4444
0
0
0
15555,5555
233.332.400
X1(-4444,4444)
0
-4444,4444
0
0
-644,8888
394,2222
-1.827,999,982
Baris Baru
1
0
0
0
622,22
15200
235.160.400

Perhitungan selanjutnya untuk mencari nilai S1 baru. Berikut ini adalah perhitungan untuk nilai S1 baru:
Tabel 12 Perhitungan S1 Baru untuk Iterasi 2
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
S1
0
4,3333
0
1
0
-0,1666
2300,01
X1(4,3333)
0
4,3333
0
0
0,6287
-0,3843
1782,28
Baris Baru
0
0
0
1
-0,6
0,17
517,73
Perhitungan selanjutnya untuk mencari nilai X2 baru. Berikut ini adalah perhitungan untuk nilai X2 baru:
Tabel 13 Perhitungan X2 Baru untuk Iterasi 2
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
X2
0
0,5555
1
0
0
0,0555
833,33
X1(0,5555)
0
0,5555
0
0
0,0806
-0,0492
228,47
Baris Baru
0
0
1
0
-0,07
0,09
604,86
Perhitungan untuk iterasi kedua telah selesai. Berikut ini adalah tabel perhitungan iterasi kedua:
Tabel 14 Iterasi 2
Basis
Z
X1
X2
S1
S2
S3
RHS
Z
1
0
0
0
622,22
15200
235.160.400
S1
0
0
0
1
-0,6
0,17
517,73
X1
0
1
0
0
0,1451
-0,0887
411,3
X2
0
0
1
0
-0,07
0,09
604,86

Berdasarkan tabel iterasi 2 di atas, nilai pada baris fungsi tujuan (Z) sudah tidak ada yang bernilai negatif, maka dapat dikatakan bahwa solusi tersebut sudah optimal. Didapat nilai Z sebesar 235.160.400 dengan nilai X1 = 411,3 dan nilai X2 = 604,86.  Jadi, jumlah AC yang harus diproduksi agar PT. X mendapatkan keuntungan yang maksimal adalah AC tipe AC-01 sejumlah 411,22 unit dibulatkan menjadi 411 unit dan AC tipe AC-02 sejumlah 604,86 unit dibulatkan menjadi 604 unit dengan jumlah keuntungan sebesar Rp. 235.160.400. dan terdapat sisa biji plastik sebesar 517,73 kg.
 

date Minggu, 10 Mei 2015
comments 0 Comments

0 komentar to “Optimalisasi Produksi (Contoh Kasus)”

Leave a Reply:

Diberdayakan oleh Blogger.